allora devi farlo in AJAX. Altrimenti devi per forza passare da conto.php.
Volendo puoi integrare conto.php nella stessa pagina del form, ma anche in questo caso ricaricherebbe tutto e in più ti trovi anche un codice molto più sporco.

Quello che vuoi fare tu devi farlo in AJAX. Possibilmente utilizzando la libreria jQuery che ti rende tutto più semplice.