Se devi lavorare con AJAX ti consiglio assolutamente di utilizzare qualche libreria specifica, in particolare jQuery è una delle migliori.

Comunque, se lo script PHP restituisce che l'username non esiste il problema è nel PHP e in questo caso AJAX non c'entra niente. Per cominciare al posto della query MySQL:

codice:
"SELECT username FROM Utente"
ti consiglio di usare una del tipo:

codice:
"SELECT username FROM Utente WHERE username = '" . mysql_real_escape_string($_GET['utente']) . "';
Così invece di selezionare potenzialmente migliaia di righe inutili e poi interare su di esse vedi direttamente se l'username esiste. Prova a fare questi cambiamenti e a controllare il risultato della query (se restituisce 0 righe allora l'username è libero) e vedere cosa succede.

Se non vuoi modificare il codice credo che il tuo script non funzioni per il semplice fatto che la riga

codice:
$rip["username'] == $utente
dovrebbe invece essere:

codice:
$rip["username"] == $_GET['utente']
visto che la variabile $utente non è definita a meno che tu non abbia register globals settato su On!

PS: mysql_real_escape_string è una funzione di PHP che serve per passare in tutta sicurezza i paramentri alle query SQL senza pericolo di SQL Injection! Devi assolutamente usarla se passi dati inseriti dagli utenti.