il tuo problema è dato dall'elemento

.oe_overlay

che risulta essere sovrapposto al form anche quando non è visible (ha un'opacità pari a 0 ma essendo posizionato si trova sempre sopra il form pertanto quando ci clicchi in realtà clicchi sul div) e ciò dipende non solo dal css ma da javascript

qui

codice:
$oe_menu.bind('mouseenter',function(){
	var $this = $(this);
	$oe_overlay.stop(true,true).fadeTo(200, 0.6);
        $this.addClass('hovered');
}).bind('mouseleave',function(){
        var $this = $(this);
	$this.removeClass('hovered');
	$oe_overlay.stop(true,true).fadeTo(200, 0);
	$oe_menu_items.children('div').hide();
})
prova a cambiare in

codice:
$oe_menu.bind('mouseenter',function(){
	var $this = $(this);
	$oe_overlay.show().stop(true,true).fadeTo(200, 0.6);
        $this.addClass('hovered');
}).bind('mouseleave',function(){
        var $this = $(this);
	$this.removeClass('hovered');
	$oe_overlay.stop(true,true).fadeTo(200, 0 , function() { $oe_overlay.hide(); });
	$oe_menu_items.children('div').hide();
})
e a riga 15 di style.css aggiungi

codice:
.oe_overlay {
    background: none repeat scroll 0 0 #000000;
    height: 100%;
    left: 0;
    opacity: 0;
    position: fixed;
    top: 0;
    width: 100%;

    display : none;
}