Grazie dell'attenzione però ancora non ho risolto.. Ti riposto il codice aggiornato con quanto mi hai detto.

<?php

LOGIN.PHP

session_start();

if(!isset($_POST['submit'])) {
echo '<form method="post" action="#">
<input type="text" name="username">

<input type="password" name="pass">

<input type="submit" value="Login!" name="submit">
</form>';
}
else {
include 'config.php';
include 'connect.php';
$user = mysql_real_escape_string($_POST['username']);
$pass = mysql_real_escape_string($_POST['pass']);

$query = "SELECT * FROM utenti WHERE UserName = '{$user}' AND Password = '{$pass}'";
$result = mysql_query ($query, $conn) or die("Errore nella query");
$num_rows = mysql_num_rows($result);

if ($num_rows == '1') {
echo "Login effettuato con successo!
homepage";
$_SESSION['username']=$username;
session_register("Logged");
}
else {
echo "Dati errati: Ritenta | Registrati";
}
}
?>


INDEX.PHP

<?php

session_start();
$_SESSION['username'];
if(session_is_registered(Logged)) {

echo "Benvenuto utente! | Logout |";
}
else {
echo "Accesso negato!
Login | Registrati";
}

?>

Vedo sempre benvenuto utente e non il suo nome