Personalmente non ho capito molto bene quello che chiedi... Dove mandi la richiesta AJAX? Una pagina PHP? In quel caso il valore della checkbox te lo ritrovi nell'array $_GET se hai usato il metodo get altrimenti $_POST se hai usato post.

Visto che poi parli di document.getElementById mi sa che hai le idee un po' confuse
La richiesta AJAX devi mandarla ad un altra pagina che elabora la richiesta e stampa qualcosa, e poi tu eventualmente usi questo output o meno.

Per convertire in JSON usa JSON.stringify(nome_oggetto) che restituisce una rappresentazione JSON di un oggetto Javascript.