ho fatto delle prove modificando un poco il tuo codice.
Ho usato un solo TextBox per la ricerca
Vedi se va

codice:
<%@ Page Language="VB" %>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">

<script runat="server">

    Protected Sub Cerca_Click(sender As Object, e As System.EventArgs)
        ' RECUPERO I DATI DAL MODULO

        Dim stringa As String = Replace(txtStringa.Text, "'", "''")
                

        ' CONTROLLO CHE SIA STATO SPECIFICATO UN CRITERIO DI RICERCA
        If Len(Trim(stringa)) < 3 Then
            Risultato.Text = "Inserire un termine di almeno 3 caratteri"
            Return
        End If
        
        ' DIVIDO LE PAROLE CHIAVE IN UN ARRAY DI STRINGA
        ' UTILIZZANDO UNO SPAZIO VUOTO COME SEPARATORE
        Dim s As String() = stringa.Split(New Char() {" "c}, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)
        
        ' CREO LA STRINGA SQL *
        Dim sql As New StringBuilder()
        sql.Append("SELECT Iscritti.*, [cognome] & IIf([nome] Is Null,"""","" "" & [nome]) AS cognome_nome FROM Iscritti WHERE ")
        For i As Integer = 0 To s.Length - 1
            If i > 0 Then sql.Append(" and ")
            sql.Append("  [cognome] & IIf([nome] Is Null,"""","" "" & [nome]) LIKE '%" & s(i) & "%'")
        Next
        
        ' APRO LA CONNESSIONE E LANCIO LA QUERY IN UN RECORDSET
        Using Connessione As New OleDbConnection(String.Format("Provider=Microsoft.ACE.OLEDB.12.0;Data Source={0}", Server.MapPath("~/app_data/albo.mdb")))
            Connessione.Open()
            Dim Comando As New OleDbCommand(sql.ToString, Connessione)
            Using Reader As OleDbDataReader = Comando.ExecuteReader()
                Dim sb As New StringBuilder()
                Do While (Reader.Read)
                    sb.Append(NullToString(Reader("cognome_nome")))
                    sb.Append("
")
                Loop
                Me.Risultato.Text = sb.ToString
            End Using
        End Using
    
    End Sub
    
    Public Function NullToString(ByVal v As Object) As String
        If v Is DBNull.Value Then
            Return ""
        Else
            Return DirectCast(v, String)
        End If

    End Function

</script>

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head runat="server">
    <title></title>
</head>
<body>
    <form id="form1" runat="server">
    <div>
        <label for="txtStringa">Nome</label>

        <asp:TextBox ID="txtStringa" runat="server" />
        



        <asp:Button ID="Cerca" runat="server" Text="Cerca" OnClick="Cerca_Click" />
        


        <asp:Literal ID="Risultato" runat="server"></asp:Literal>
    </div>
    </form>
</body>
</html>