a) la proprietà si chiamava a e continua a chiamarsi a. $this serve per riferirsi all'istanza corrente (ad esempio $this->proprietaX e $this->metodoY());

b) No, non si può dire che le proprietà dichiarate tipo "public $a=10;" servono esclusivamente al costruttore per costruire le variabili della classe. Prova ne è il fatto che tali proprietà le userai in vari metodi della tua classe

Codice PHP:

public function pippo($obj)
{
  $this->a = $obj;
} 
oppure all'esterno della classe stessa

Codice PHP:

$obj = new MyClass('valore');

echo $obj->a; // ti stamperà valore 
Forse ti confonde la keywork $this che non è altro che l'istanza corrente della classe e il costruttore che di fatto è un metodo magico ed il primo metodo eseguito quando istanzi una classe.