in <form action="#" name="modulo" method="post"> cambia # con il nome dell'altro script... se p.es. fosse mail.php <form action="mail.php" name="modulo" method="post">

...lo script mail.php se non genera output comporterebbe una pagina "bianca" nel browser... potresti (1)aggiungere dell'output, (2)mostrare l'esito dell'invio o (3)rimandare l'utente su un'altra pagina (da aggiungere "in coda" se non c'è altro nello script):

1) ...(tutto l'output HTML che vuoi)...
2) if ($mail) { print 'OK'; } else { print 'ERRORE'; };
3) header('location: nomepagina.php'); // alla pagina che vuoi tu