Codice PHP:
if (isset($_POST['inviato'])) {  
// Processo di recupero dei dati del form 
$mailer = new PHPMailer(); 
$nome = $_POST['nome']; 
$cognome = $_POST['cognome']; 
$email = $_POST['mail']; 
$oggetto = $_POST['oggetto']; 
$testo = $_POST['testo']; 

$mailer->From = $email; 
$mailer->Subject = $oggetto; 
$mailer->MsgHTML("Da $nome $cognome, $email
$testo"); 

$mailer->AddAddress("indirizzo@mail.ext"); 

$mailer->Send(); 
} 
Le intestazioni HTML non servono più in quanto fa tutto già la classe, e devi usare MsgHTML() per inviare come testo della mail codice HTML...ti consiglio di leggerti nuovamente e con attenzione il tutorial.