i problemi potrebbero essere diversi:

explorer blocca l'esecuzione del javascript se nel codice c'è una virgola di troppo, mentre chrome e firefox semplicemente la ignorano.

step uno:usa un validatore di sintassi javascript per vedere se lo script contiene errori.

step2: debug!!!!

fai alert(document.getElementById(nome_select).length) per vedere se trova l'elemento,

poi alert(ajax.responseText) per vedere se è arrivata la risposta

infine controlla il funzionamento di innerHTML in explorer, dato che non mi risulta ci sia uno standard e ogni browser lo interpreta come gli pare. Per quello usare jquery semplifica di molto la vita