ci accedi via web tramite browser
quindi esiste una pagina che puoi usare per ottenere i dati della stampante.

Immagino che il tuo script debba permetterti di controllare a distanza tali dati giusto ?

Quindi vediamo :

1 se la pagina web della tua stampante è raggiungibile dall'esterno ( se no forse la puoi rendere tu raggiungibile settando le porte del router e reindirizzando la connessione su una porta a tale indirizzo ip della stampante ) allora puoi interrogare la pagina come se fosse un servizio web

da php puoi ottenere i dati della pagina della stampante semplicemente con la funzione file penso indicando quella risorsa

dopo fai il parsing della pagina che ti restituisce la stampante ed estrapoli i dati che ti servono