Errore mio.
Il PreferredSize va, ovviamente, impostato sul JScrollPane e non sulla JTextArea.
E' il JScrollPane, infatti, che viene aggiunto alla finestra, non la JTextArea... di conseguenza, è il JScrollPane che viene influenzato dal LayoutManager e non la JTextArea.

Riposto l'esempio corretto.

codice:
import java.awt.*;
import javax.swing.*;

public class AreaSopra extends JFrame {
   private JTextArea txt;

   public AreaSopra() {
      Container c = getContentPane();
      c.setLayout( new BorderLayout() );

      txt = new JTextArea();
      JScrollPane jsp = new JScrollPane( txt );
      jsp.setPreferredSize( new Dimension(800, 80) );
      c.add(jsp, BorderLayout.NORTH);

      setTitle("Test TextArea NORTH");
      setSize(800, 600);
      setDefaultCloseOperation( EXIT_ON_CLOSE );
      setVisible( true );
   }

   public static void main(String[] args) {
      AreaSopra a = new AreaSopra();
   }
}