http://api.jquery.com/next-siblings-selector/

Se ho capito bene così seleziona tutti i successivi del tuo selettore, per cui al primo h3 ti prende tutti i paragrafi dopo (ovvero tutti).

Non puoi chiudere ogni blocco in un div? così prendi i paragrafi del parent

codice:
<div>
<h3>111</h3>


aaa</p>


bbb</p>
</div>

<div>
<h3>222</h3>


aaa</p>


bbb</p>
</div>
js
codice:
$('h3').click(function(){
  $("p", $(this).parent());
})