Forse dovrei fare un div id"logout", con il link della pagina iniziale, e sul css dirgli display:none
si, poi modifichi lo script cosi:

codice:
$(document).ready(function(){
$("#accedi").click(function() {
var dati = $('.search').attr('value');
$("#nomeutente").html("Benvenuto/a " + dati +"!");
$(this).hide();//nascondi il div accedi
$("#logout").show(); //mostri il div logout
});