Quando crei il costruttore ok.addActionListener(new GestoreBottone(a, nome));
gli passi le variabili a e nome.
Quando crei quelle variabili non inserisci nessun testo, ma ti limiti a settarne le dimensioni:
Per quello al compilatore risulta che sono vuote.codice:TextArea a = new TextArea(10, 20); TextField nome = new TextField(20);
Prima di creare GestoreBottoni dovresti inserirci un testo usando il metodo setText("").
Spero di essere stato utile.