utilizzando solo una cascata di if ed else, non so se c'è un metodo più pulito per fare quello che chiedi, per futuri casi del genere potresti andarti a vedere la funzione switch, che non è complicatissima, comprende anche l' utilizzo degli if ed else.

codice:
var scelta1 = prompt("Giocatore1 scegli (1)Rock, (2)Paper or (3)Scissors");
var scelta2 = prompt("Giocatore2 scegli (1)Rock, (2)Paper or (3)Scissors");
var risultato = function (Giocatore1,Giocatore2) 
{
if (scelta1 === scelta2) { console.log("Pareggio."); }
else 
    
   switch(scelta1){

       // se hai scelto sasso
       case "1":
            // e l' avversario ha scelto carta
            if(scelta2 =="2")
                console.log("hai perso")
            // se l' avversario ha scelto forbice
            else
                console.log("hai vinto")
       
       break;

       // se hai scelto carta
       case "2":
            // e l' avversario ha scelto sasso
            if(scelta2 =="1")
                console.log("hai vinto")
            // se l' avversario ha scelto forbice
            else
                console.log("hai perso")
       
       break;


       e via dicendo...

   }
}; 

risultato (scelta1,scelta2);
lo trovi qui http://www.html.it/pag/15274/lo-switch/


detto questo potresti in un secondo momento aggiungere un controllo sull' input utente, per controllare se quello che ha inserito è quello che ti aspettavi, cioè un numero tra 1 e 3.
Ad esempio nel caso un utente digitasse 10 nel codice che ho postato potresti avere un risultato sballato, perchè ci si aspetta un numero compreso tra 1 e 3.