Un modo "abbastanza" sicuro potrebbe essere distruggere e ricostruire l'oggetto webbrowser (ricordandosi della Dispose). Ma tu esattamente che dato devi estrarre?
Dal codice mi pare che tu stia cercando di ottenere l'IP pubblico del PC tramite IPChicken: perché non usi la leggerissima classe System.Net.WebClient e un sito che fornisce tale informazione in formato solo testo (ad esempio http://checkip.dyndns.com/)? In tale maniera eviti di usare il componente WebBrowser e tutti i problemi ad esso connessi.