è perchè non hai passato alal classe i valori del form! fai così

Codice PHP:
class registrazione{
   public 
$username;
   public 
$password;   
   public 
$cognome;
   public 
$data_nascita;
   public 
$mail

   function 
__construct(){
    
$this->password=trim($this->password);
    
$this->username=$username;
    
    }



function 
invia_dati() {
     
     
$data = new mysqli();

 
$data->connetti();
       
       
       
     
$sql="INSERT INTO utenti (nome,cognome,username,password,data_nascita,mail)
VALUES
("'" . $this->name . "'
'" . $this->username . "''" . $this->cognome . "''" . $this->password . "''" . $this->data_nascita] . "''" . $this->mail . "'";
// fine classe
}

$record = new registrazione();
// supponendo che hai apssato i valori del form...
$nome = $_POST['nome'];
$cognome = $_POST['cognome'];
//ecc
$record->invia_dati();