Metti un echo tanto per vedere se viene eseguito l'update
Codice PHP:
 if (isset($_POST['btn'])) { 

echo 
'OK' ;

mysql_query("UPDATE contratti SET Copie_Fatte_BN = '".$_POST['btn']."' WHERE Contratto = '".$_POST['id']."' ") ;
 if (
mysql_error()) { echo mysql_error() ; }
 } 
e vedi se viene visualizzato l'OK