Ho modificato la funzione così:
Codice PHP:
public function connessione()
    {
        
$host mysql_connect($db_name$db_user$db_password) or ("errore");
        echo 
"Info var host: ";
        
var_dump($host);
        echo 
"
"
;
        return (!
$host) ? false true;
    } 
Non è stato risolto però... Ecco l'output con le info di $host
Info var host: resource(3) of type (mysql link)
Connessione stabilita
Chiusura fallita

EDIT

Ho modificato la pagina add_item.php per aggiungere la grafica:

Codice PHP:
<?php
include '../cont.php';
include 
"../database/db.php";
alto("Prodotti ~ Ritrovo Extra""prodotti""connessione al db");
?>

<div id="content_center">

<?php
$db 
= new SQL;
$db->check_connessione();
echo 
"
"
;
$db->check_close();
?>

</div>

<?php
basso
();
?>
alto contiene l'header e basso contiene la chiusura della pagina... Adesso l'output è cambiato così:

Info var host: resource(4) of type (mysql link)
Connessione stabilita
Chiusura fallita