Tutto dipende dal codice che usi.
Solo a titolo di esempio, io ho risolto così:

scrivo nome nel textbox, premo Enter o clicco su un tasto per il submit

il server recupera il nome e costruisce la clausola where dell'sql

(cognome_nome LIKE '%mario%') and (cognome_nome LIKE '%rossi%')

e la unisco alla sql:
select * from tabella where 1=1 and *** ORDER BY cognome_nome Asc

e finalmente faccio il DataBind del controllo

questo funziona anche se non si ricorda perfettamente il nome perchè restringe comunque il campo di ricerca.