Ah, forse ho capito.

La classe Database che stai usando probabilmente era intesa da utilizzare come un "IoC container" per implementare la dependency injection.

Se e' cosi' significa che non dovresti implementare nessun metodo connect() li' dentro, perche' la classe ha il solo scopo di ritornare un'istanza di se stessa (per astrarre le tue classi dal DBMS che andrai ad utilizzare).

In ogni caso pero' devi avere un driver per connetterti al database. Nel tuo caso potresti tranquillamente usare PDO, facendo qualcosa del genere:

Codice PHP:
<?php



try {
  
$db = new PDO/* qui ci metti i parametri di connessione */ );
} catch (
PDOException $e) {
  echo 
"PDOException: " $e->getMessage();
}

// inizializzo il container.
// qui do' per scontato che ci sia un setter 
// chiamato init() all'interno della classe Database
Database::init($db);
Successivamente all'interno delle tue classi che hanno bisogno del database dovrai semplicemente richiamare Database::getInstance(), come hai giustamente immaginato.