in design time tu scrivi solo una stringa per una proprietà di tipo textBox. Da qualche parte ci deve essere qualcosa che converta la tua stringa nell'oggetto e viceversa. Da qui l'errore.
Se cerci su google qualcosa la trovi sul supporto in design time dei server control (c'era un bell'articolo in inglese di Dino Esposito che riassumeva tutta la faccenda, tra cui anche quella dei typeConverter).

Non so però se dal convertitore puoi accedere ad un istanza della pagina o del ViewState e chedere un controllo specifico in base al nome.

L'alternativaa (anche se poco ortodossa) sarebbe tenere queste proprietà di tipo stringa e creare delle proprietà protected con il metodo get che rappresentano le textbox vere e proprie.
Nel metodo get prelevi il controllo con Page.FindControl o dal ViewState (credo sarebbe piu opportuno dal Viewstate ma non essendo una cosa che faccio tutti i giorni lascio il condizionale).