In effetti mi sono accorto di averla dichiarata Stringa, invece a me serve un intero per poterla incrementare..

Allora ho provato con:
codice:
int insert = dati.executeUpdate("INSERT INTO prodotti VALUES ('"+Codice+1+ "', '"+Nome+"', '"+Categoria+ "', '"+ Ingredienti + "', '"+ Prezzo + "')");
E durante l'esecuzione, durante l'aggiunta di una nuova pizza, mi da questo errore:

Incorrect integer value: 'com.mysql.jdbc.JDBC4ResultSet@7caf9b1' for column 'Codice' at row 1