Come detto devi salvare il valore in una variabile come segue:

<?php
$sql="INSERT INTO $tbl_name(nominativo, indirizzo, telefono)VALUES('$nominativo', '$indirizzo', '$telefono')";
$result=mysql_query($sql);
$codiceCliente = mysql_insert_id();


// if successfully insert data into database, displays message "Successful".
if($result){
echo "Successful";
echo "
";
echo "Back to main page";
}

else {
echo "ERROR";
}
?>

il punto è che tu non fai nessun utilizzo del codice cliente nelle istruzioni successive.
In ogni caso se ricevi degli errori dovresti indicarceli se vuoi un aiuto mirato.

p.s: dovresti preoccuparti anche dell'escape per le query