Non serve che passi il database. Basta che nell'altra classe mantieni una variabile d'istanza che contiene le informazioni che ti servono. Se ti basta lo username puoi tenere direttamente una stringa, altrimenti ti conviene incapsulare tutte le informazioni in un oggetto (ad es. ti puoi creare una classe User con tutte le informazioni necessarie).
Quindi nel costruttore della classe prendi come argomento un'istanza di tale oggetto e lo memorizzi nella variabile d'istanza.

Ad esempio:

codice:
class OtherJFrame {
  String mUsername;
  
  OtherJFrame(String username) {
    mUsername = username;
  }
}
e quando la crei le passi tutte le informazioni necessarie:

codice:
OtherJFrame f = new OtherJFrame("pippo");