Sono l'ultima persona che ti dovrebbe dare una mano ma ci provo lo stesso...

La connessione devi salvarla in una varibile pubblica nel tuo caso

public $conn

nella tua pagina, quando vai a fare la select, alla mysql_query non gliene frega niente del tuo oggetto connessione, ma vuole una risorsa valida per identificare la connessione ecco perche gli passi nomedeltuoggetto->risorsa_di_connessione...

Non l'ho testato ma le considerazioni fatte dovrebbero essere giuste..

Codice PHP:
<?php

class dbconnect {
    public 
$host "nomehost";
    public 
$login "login";
    public 
$pass "pass";
    public 
$database "nome_DB";
    public 
$conn;

    function 
connection() {
        
$this->conn mysql_connect($this->host$this->login$this->pass)
            or die (
'Unable to connect!');
        
mysql_select_db($this->database$db) or die(mysql_error($db));
       
    }
    
}

$db = new dbconnect();
$db->connection();

$query 'SELECT * FROM people';
$result mysql_query($query$db->$conn) or die(mysql_error($db));

?>