JList, infatti, non ha nessun metodo getText() (e, sinceramente, non vedo perchè dovrebbe averne, visto che non è un componente di testo, ma un contenitore di oggetti).

JList rappresenta una lista di oggetti (oggetti di qualunque tipo). Questa lista viene presentata all'utente che può selezionarne uno (o più di uno, a seconda delle impostazioni date a JList). Ovviamente, tale oggetto consente di fare diverse cose, tra le quali quella di ottenere l'oggetto selezionato (o l'elenco di oggetti selezionati). E' questo ciò che vuoi fare? Ottenere l'oggetto selezionato? Bene... vi sono due modi per ottenere ciò:

1) Usare il metodo getSelectedValue() / getSelectedValues()
2) Usare il metodo getSelectedIndex() / getSelectedIndices() e agire sul model (ListModel) associato per prelevare l'oggetto a quell'indice / gli oggetti a quegli indici.

Se sai con certezza che quell'oggetto è di un certo tipo (ad esempio una String), allora è sufficiente un cast.

codice:
JList miaLista = new JList();
...

// Ottengo la stringa selezionata
String str = (String) miaLista.getSelectedValue();

// oppure
int idx = miaLista.getSelectedIndex();
String str = (String) miaLista.getModel().getElementAt( idx );
Ciao.