Il tuo problema nasce dal fatto che l'unico "luogo informatico" in cui salvi i dati è la ListView...che non è adatta a quello scopo.
Usa un supporto consono al mantenimento dei dati inseriti (una lista di oggetti, un database, ecc.) e carica ogni volta i dati leggendoli nell'ordine desiderato.

Ad ogni modo, per il tuo scopo sarebbe più adatto l'uso di un database.

Non c'è un modo diretto per salvare i dati della ListView in un file.
Puoi usare la classe TStringList per definire il testo da salvare con il metodo SaveToFile, ma devi stabilire autonomamente le convenzioni di formato (il modo in cui deve essere organizzato il file di testo per la lettura e la scrittura delle informazioni devi deciderlo tu).

Credo che tu stia facendo un uso improprio delle ListView, nel senso che potresti adottare un database e usare i Data Control per risparmiarti tutte le operazioni che cerchi di applicare alla ListView. Ad ogni controllo, il suo scopo!

Ciao!