Perfetto: ora tutto mi funziona. Funzionava anche lo script precedente aggiungendo le due precisazioni mancanti. Poi, come da suggerimento, ho provato a passare a mySQLi: visto che devo imparare meglio usare direttamente i comandi nuovi... Grazie ancora!

Codice PHP:
<?php
$connessione
=mysqli_connect("localhost","username","","my_username");
// Controllo la connessione
if (mysqli_connect_errno($con))
  {
  echo 
"Connessione fallita a MySQL: " mysqli_connect_error();
  }

$inserimento="
INSERT INTO tabella_esempio (nome, indirizzo)
VALUES('
$_POST[nome]','$_POST[indirizzo]')
"
;

// Controllo inserimento dati in tabella la connessione
if (!mysqli_query($connessione,$inserimento))
  {
  die(
'Errore con inserimento : ' mysqli_error($connessione));
  }
echo 
"1 record aggiunto";

mysqli_close($connessione);
?>