username, password, nome, cognome... sono tutte stringhe nel db, quindi devi racchiudere tra apici i valori che vuoi assegnare

$aggiorna = mysql_query(" UPDATE utenti SET username = '$username', password = '$password', nome = '$nome', cognome = '$cognome', email = '$email' WHERE id = $user");

Quando posti codice php sul forum, mettilo dentro i tag [php] [ /php] (senza lo spazio tra [ e /) così si legge meglio (prima di postare visualizza l'anteprima e se necessario sistema l'indentazione del codice).