[Statistica] Problemi con i dadi

[Reiuky]

Tornando a casa da Lucca, io e un mio amico ci siamo intrippati in un complicato quanto pseudo inutile calcolo. Ovvero...

Se la probabilità di successo tirando un dado è del 30%, come si calcola la probabilità di ottenere almeno un successo tirando 2 dadi? Esiste una formula iterativa per 3, 4 o superiore numero di dadi?

E se il numero di successi richiesti aumenta? Ad esempio, come calcolo la probabilità di ottenere 2 successi tirando 4 dadi?

A incasinare tutto, ci siamo posti la domanda: e se la probabilità di successo di un dado scende al 20% o al 10%?

[mamo139]

Se parliamo di normali dadi a 6 facce, bisogna premettere che e' impossibile ottenere successo con probabilita' 30% tirando un solo dato.

Assumendo che usiamo dadi a 6 facce:

Definiamo "successo" come fare 5 o 6. Allora tirando un dado la probabilita' di successo e' 2/6.

quesito 1:
La probabilita' di ottenere almeno un successo tirando 2 dadi e' logicamente 1 meno la probabilita' di non ottenere nessun successo tirando due dadi.
spiegazione:
Infatti tirando due dadi puoi avere quattro scenari. (successo - successo), (insuccesso -successo), (successo-insuccesso), (insuccesso -insuccesso).
La somma di queste quattro probabilita' ti da 100%, poiche uno e uno solo di questi scenari succede ogni volta che tiri il dado, quindi la loro somma comprende tutto cio che puo succedere.

La tua prima domanda e' "probabilita' di ottenere almeno un successo tirando 2 dadi", che equivale alla somma dei primi tre casi (successo - successo), (insuccesso -successo), (successo-insuccesso).
Solo che e' noioso calcolare tre possibili scenari e sommarli, quindi conviene calcolare l'inverso, ovvero probabilita' (insuccesso -insuccesso), e poi fare 1 - probabilita'(insuccesso -insuccesso).

Quindi la probabilita' di fare due insuccessi consecutivi sara' (4/6)^2.
La risposta alla domanda "probabilita' di ottenere almeno un successo (5o6) tirando 2 dadi" e' quindi 1-(4/6)^2 = 5/9

quesito 2:
formula iterativa per fare "probabilita' di ottenere almeno un successo (probabilita' pi) tirando n dadi"
la formula e' semplicemente 1-(1-pi)^n

quesito 3:
"come calcolo la probabilità di ottenere esattamente 2 successi tirando 4 dadi?"
qui diventa un po piu complesso perche' non puoi piu usare la scorciatoia che ti permette di calcolare un solo caso e prendere il risultato opposto.
Concettualmente devi calcolare tutti i possibili casi del lancio di 4 dati con relative probabilita' di successo e sommare quelle compatibili con la tua regola di ottenere 2 successi.
Chiaramente il calcolo combinatorio http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_combinatorio ti offre tutti gli strumenti necessari per non stare a contare ogni singolo caso.

Il numero di combinazioni possibili di 2 successi sul lancio di 4 dati si ottiene usando una combinazione semplice come descritta su wiki con (n=4, k=2).
Tutte queste possibili combinazioni hanno stessa probabilita': p(successo)^2*p(insuccesso)^(4-2).

Se moltiplichi questo per il numero di combinazioni ottieni esattamente "la probabilità di ottenere esattamente 2 successi tirando 4 dadi"
ovvero
combinazione(n=4, k=2)*p(successo)^2*p(insuccesso)^(4-2)

quesito 4:
"A incasinare tutto, ci siamo posti la domanda: e se la probabilità di successo di un dado scende al 20% o al 10%?"

questo e' il piu facile, rifai esattamente gli stessi calcoli cambiando p(successo) e p(insuccesso)

[Reiuky]

Mitico! Grazie 1'000

Forse avrei dovuto specificare che i nostri dadi hanno 20 facce

[chumkiu]

Se parliamo di normali dadi a 6 facce, bisogna premettere che e' impossibile ottenere successo con probabilita' 30% tirando un solo dato.

Tu non hai mai giocato a D&D ? :|

(visto che tornava da Lucca....... )

[chumkiu]

Se la probabilità di successo tirando un dado è del 30%, come si calcola la probabilità di ottenere almeno un successo tirando 2 dadi? Esiste una formula iterativa per 3, 4 o superiore numero di dadi?

Ti semplifico un po'.

Per questo tipo di calcolo in genere si tenta di rispondere alla domanda contraria:
D: Qual è la probabilità di NON vincere nemmeno una volta con due tentativi?
R: La probabilità di insuccesso è di 0.7 a tiro, quindi la probabilità di perdere per due volte consecutive è di 0.7*0.7 = 0.49 (49%)
Quindi il restante 51% è la probabilità di vincere almeno una volta.

E se il numero di successi richiesti aumenta? Ad esempio, come calcolo la probabilità di ottenere 2 successi tirando 4 dadi?

Devi sempre specificare: ottenere ESATTAMENTE 2 successi, o ALMENO 2 successi?
Con ALMENO 2 successi si risponde come prima.
D: Qual è la probabilità di fallire per 3 volte tirando 4 volte un dado? (che è lo stesso di tirare 4 dadi insieme)
R: Abbiamo 4 possibilità. Vinci solo al primo tiro, o solo al secondo, o solo al terzo o solo al quarto. Sommando le probabilità si ha:


0.3*0.7*0.7*0.7+
0.7*0.3*0.7*0.7+
0.7*0.7*0.3*0.7+
0.7*0.7*0.7*0.3
= 0.7*0.7*0.7*0.3 * 4 = 0.4116

A incasinare tutto, ci siamo posti la domanda: e se la probabilità di successo di un dado scende al 20% o al 10%?

al 20% il 0.7 diventa 0.8 e 0.3 diventa 0.2.

[mamo139]

Tu non hai mai giocato a D&D ? :|

(visto che tornava da Lucca....... )

Ci ho giocato una volta... anni fa
Proprio per questo ho specificato che assumevo nel mio discorso che i dadi avessero 6 facce.
Comunque e' facile passare al caso 20 facce