Prerequisiti:

1) JDK 7 (dovrebbe pure funzionare con JDK 6 ma non ho modo di provare ora)

2) Eclipse IDE for Java EE Developers

3) Tomcat 7

Per Tomcat è sufficiente prendere il pacchetto basilare dei binari (es. apache-tomcat-7.0.47.zip), decomprimerlo in una qualunque cartella che si vuole. Non c'è da fare/modificare alcun file di configurazione!

In Eclipse nella vista "Servers" crea un nuovo server. Seleziona "Tomcat v7.0 Server" e nella schermata successiva imposta come installation directory la "home" della installazione di Tomcat (es. C:\Programmi\apache-tomcat-7.0.47 o qualunque cosa sia sul tuo sistema). Come JRE va bene "Workbench default JRE". Quindi "Finish".

Sempre in Eclipse crea un nuovo "Dynamic Web Project" (Da File -> New). Metti il nome del progetto che vuoi, Come Target runtime dovrebbe già esserci il Tomcat 7. Come Dynamic web module version puoi mettere 2.4. Se il tuo Eclipse offre versioni successive es. 2.5 o 3.0 potresti anche selezionare una di queste ma poi nel web.xml la dichiarazione iniziale deve essere corretta/coerente.
L'esempio di web.xml che farò è per 2.4. Le versioni successive permettono di usare funzionalità più avanzate, che però in questo momento non dovrebbero interessarti. Il resto lascialo come predefinito.
Vai avanti con Next>, nell'ultima pagina c'è il Context root, è il nome della applicazione che poi andrà usato nel URL da browser. Eclipse mette lo stesso nome del progetto, ma puoi cambiarlo se vuoi. Quindi "Finish".

Nella vista "Package Explorer" sotto src crea un package es. com.esempio, puoi anche cambiare nome purché poi adatti in seguito quello che dirò dopo.
Dentro il package crea una classe es. HelloServlet, anche qui cambia pure nome, purché adatti nel seguito. Nota che esiste già un wizard apposito per creare una Servlet, puoi usare questo oppure il wizard classico per un Java Class. Non cambia nulla se alla fine arrivi ad avere una cosa del tipo:

codice:
package com.esempio;

import java.io.IOException;
import java.io.PrintWriter;

import javax.servlet.ServletException;
import javax.servlet.http.HttpServlet;
import javax.servlet.http.HttpServletRequest;
import javax.servlet.http.HttpServletResponse;

public class HelloServlet extends HttpServlet {
    private static final long serialVersionUID = 1L;

    protected void doGet(HttpServletRequest request, HttpServletResponse response) throws ServletException, IOException {
        PrintWriter out = response.getWriter();
        out.println("<html>");
        out.println("<body>");
        out.println("<h1>Hello Servlet</h1>");
        out.println("</body>");
        out.println("</html>");
    }
}

Se hai usato il wizard "Servlet", modifica già lui il web.xml. Alla fin fine è sufficiente avere nel web.xml qualcosa tipo:

codice:
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<web-app id="WebApp_ID" version="2.4" xmlns="http://java.sun.com/xml/ns/j2ee" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://java.sun.com/xml/ns/j2ee http://java.sun.com/xml/ns/j2ee/web-app_2_4.xsd">
    <display-name>Hello</display-name>
    <servlet>
        <display-name>HelloServlet</display-name>
        <servlet-name>HelloServlet</servlet-name>
        <servlet-class>com.esempio.HelloServlet</servlet-class>
    </servlet>
    <servlet-mapping>
        <servlet-name>HelloServlet</servlet-name>
        <url-pattern>/HelloServlet</url-pattern>
    </servlet-mapping>
</web-app>

Assicurati che tutto sia compilato (marca es. "Build Automatically" o fai il Build All), comunque verifica poi che non ci siano errori nella vista "Problems".

Se tutto ok, sul nome del progetto clicca tasto destro, poi Run As -> Run on Server. Seleziona il server (se ne hai solo uno dovrebbe già essere selezionato quello). Quindi "Finish".

Da browser (IE, FF, quello che vuoi) vai al URL:

http://localhost:8080/<context-root>/HelloServlet

dove al posto di <context-root> ci devi mettere il Context root specificato all'inizio nella creazione del progetto. Se il progetto si chiama es. "hello" e hai lasciato "hello" come Context root:

http://localhost:8080/hello/HelloServlet

e dovrai vedere la scritta un po' grande "Hello Servlet".