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fai una query su amicizie per cercare lo username in questione:
Codice PHP:
$query "SELECT * FROM amicizie WHERE richiedente = '$utente' OR accettante = '$utente'"
A questo punto, quando fai il ciclo su tutti gli utenti, vedi se l'utente si trova nella tabella o meno, e ti muovi di conseguenza.
io mi preparerei prima un array che ha come chiave lo username:
Codice PHP:
$query "SELECT * FROM amicizie WHERE richiedente = '$utente' OR accettante = '$utente'";
$result mysql_query($query);  
$amicizie = array();
while(
$row mysql_fetch_assoc($result)) {
   
$key = ($row['richiedente'] == $utente) ?  $row['accettante'] : $row['richiedente'];
   
$amicizie[$key] = $row['stato'];

a questo punto nel tuo ciclo sugli utenti:
Codice PHP:
$query "SELECT id, user, nome, cognome FROM utenti WHERE user<>'" .$utente"'";
$result mysql_query($query);  
while(
$row mysql_fetch_array($result)) {
     echo 
"<tr>
          <td>
$row[id]</td>
          <td>
$row[user]</td>
          <td>
$row[nome]</td>
          <td>
$row[cognome]</td>";
    if(!isset(
$amicizie[$row['id']])){
        echo 
"<td><input type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"RICHIEDI AMICIZIA\"></td>";
    }else{
        if(
$amicizie[$row['id']] == 1){   
          echo 
"<td><input type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"RIMUOVI AMICIZIA\"></td>";
        }else{             
          echo 
"<td><input type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"IN ATTESA\"></td>";
        }
    }

Ps: Io non tengo in considerazioni "doppioni" nella tabella amicizie (es. io chiedo amizia a tizio, tizio la chiede a me).
Regolati di conseguenza nel caso siano presenti duplicati
Grazie per la risposta! Ora provo, ma cosa vuol dire questa notazione con il punto interrogativo:
$key = ($row['richiedente'] == $utente) ? $row['accettante'] : $row['richiedente']; ?