Non sono esperto dell'argomento, ma io credo che le notifiche di gmail siano una feature proprietaria di Chrome e Android specifica per Gmail, e quindi possibili solo se ti scrivi un tuo browser e convinci la gente ad usarlo... altrimenti saresti un po' invadente per così dire...
Cosa stai sviluppando di preciso? Io non mi ci vedo che mentre navigo su un sito mi appate un contenuto di un'altro sito... ok gmail di cui ci si fida, ma la non connessione tra le schede aperte è uno dei principi della sicurezza e della privacy su internet.
Detto questo, che io sappia html5 non può aiutarti. Tutto ciò che ho detto vale per i pc, su tablet e smartphone se ti scrivi un'app il discorso è diverso