Dovresti anche solo aggiungere DISTINCT alla query per evitare duplicati; se uno stesso prodotto può stare in più categorie allora si potrebbero duplicare andando in join con la tabella ASSOCIA quindi con DISTINCT sistemi il problema:
SELECT DISTINCT p.nome_prodotto FROM prodotti p
INNER JOIN associa a ON p.id_prodotto = a.id_prodotto
WHERE a.id_categoria IN (5, 8, 9)


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