Infatti il problema è che anche il finally può generare un'eccezione e il compilatore mi stava avvertendo proprio di questo.
Ho modificato così il metodo e ora funziona:

codice:
    public static void insertMenu(String field) {
        
        PreparedStatement statement = null;
        
//verifico che l'utente non abbia inserito un campo vuoto
        try {
            if (field == null || field.isEmpty()) {
                JOptionPane.showMessageDialog(blabla);
                return;
            }

//inserisco fisicamente nel db il nuovo menu
            statement = connection.prepareStatement("INSERT INTO Menu VALUES (NULL, ?)");
            statement.setString(1, field);
            statement.executeUpdate();
            
//catturo le eccezioni e chiudo lo statement per liberare risorse
        } catch (SQLException e) {
            JOptionPane.showMessageDialog(blabla);
            Logger.getLogger(DBConnection.class.getName()).log(Level.SEVERE, null, e);
        } finally {
            if (statement != null) {
                try {
                    statement.close();
                } catch (SQLException ex) {
                    Logger.getLogger(DBConnection.class.getName()).log(Level.SEVERE, null, ex);
                }
            }
        }
    }
Altrimenti avrei dovuto aggiungere il try-catch relativo al finally nella classe dove chiamavo il metodo, e non mi sembrava granché come soluzione.
Adesso ho il problema che non so come aggiornare il contenuto della JList dopo che ho inserito dei dati nuovi nel db