Classi, variabili globali, metodi, etc... Perchè non mi funziona questo codice?

[American]

Ho creato una classe per connettersi al database e prelevare i vari messaggi. Questo il codice

require('config.inc.php'); //contiene la dichiarazione delle variabili dedite alla connessione al DB

class gestioneMessaggi {
    
    private  $db;
  
  function connettiAlDatabase()
  {     
    global $db_name, $db_host, $db_user, $db_password; //queste variabili sono dichiarate all'interno di config.inc.php
    
     try {
       $this->$db = new PDO('mysql:host='.$db_host.';dbname='.$db_name, $db_user, $db_password);
       $this->$db->setAttribute(PDO::ATTR_ERRMODE, PDO::ERRMODE_EXCEPTION);
      } 
      catch(PDOException $e) {
          echo 'ERROR: ' . $e->getMessage();
        } 

      echo('ok'); //<----ATTENZIONE A QUESTO!
    
     }  

   //..altro codice
} 

Nel file index.php ho scritto

<?php

require('gestioneMessaggi.php'); //incorporo la classe sopra riportata

$gestioneMessaggi = new gestioneMessaggi();
$gestioneMessaggi -> connettiAlDatabase();

?>

Il problema è che l'"ok" generato dall'echo non viene stampato a video..E non so nemmeno per quale motivo in quanto non mi vengono segnalati gli errori (e a proposito, come posso ovviare al problema?).
Comunque facendo prove su prove ho capito che il problema risiede nel modo in cui tento di accedere alla variabile privata $db. Infatti se invece di scrivere

  $this->$db = new PDO(etc...) 

scrivo

  $db = new PDO(etc...) 

l'ok mi viene correttamente stampato..
Preciso infatti che è la prima volta che uso un sistema OO in PHP, quindi magari ho fatto un errore grossolano, ma dove?