Memorizzare valori in array di stringhe

[andbin]

Tramite un ciclo for chiedo all'utente quanti valori stringa vuole inserire, salvo tutti i valori in un array di stringhe.
Il problema si presenta quando l'utente tramite il menu richiede nuovamente di inserire i valori, infatti quelli precedenti vengono poi sostituiti dai nuovi che sono stati inseriti. Vi faccio un esempio:

Come mai i nuovi valori vengono sostituiti ai precedenti?

Dopo che hai chiesto "Quanti valori vuoi inserire?" e l'utente ha inserito il numero, immagino che istanzi un array di String con quella dimensione.
Se ripeti da capo questa procedura .... ovviamente crei un nuovo array e il vecchio array buonanotte .....

Come faccio a memorizzarli in maniera definitiva fin quando l'utente non sceglie di terminare l'applicazione?

Se vuoi aggiungere sempre, la soluzione più pulita e pratica è usare una collezione (List). Se non ti è permesso o non vuoi usare una collezione, quando l'utente ripete la procedura di inserimento fai così (uso il tuo esempio): la seconda volta che l'utente chiede di inserire 1 elemento, prima ce n'erano già 2. Istanzi un nuovo array di 3 elementi e ricopi i primi 2 nel nuovo. Quindi parti dal nuovo indice (2).

EDIT, possiamo anche generalizzare se vuoi: se prima l'array era di N elementi e ora l'utente vuole inserirne altri M, allora istanzi un nuovo array di lunghezza N+M, ricopi i primi N elementi e poi parti ad assegnare nell'array partendo dall'indice di valore proprio N.