L'inizializzazione in PHP non è così importante, una variabile può cambiare il suo tipo di dato durante la sua vita, quindi se proprio vuoi dichiararla come array basterebbe anche
$nome_array = array();

array_push() a meno di esigenze particolari non è consigliato, facendolo avvii una chiamata ad una funzione, che è più dispendiosa della semplice assegnazione (cosa che comunque farà anche array_push() ).

Per inserire un nuovo dato in quell'array in una nuova posizione puoi fare per esempio

$nome_array[][] = 'pippo';

Il risultato sarà:
Array ( [0] => Array ( [0] => pippo ) )