La variabile $a esiste solo sul server, non sul browser di chi naviga, quindi se il cambio della variabile $a deve comportare una variazione della pagina hai 2 possibilità:

1) allo script index.php devi far ritornare i dati necessari per modificare la pagina e modificarla tramite javascript usando tali dati.
Questo però direi da escluderlo perché lo script che viene chiamato da AJAX è nello stesso file chiamante, quindi ti incasineresti col codice dovendo gestire il caso in cui il file venga chiamato da AJAX o se ci si arriva da normale navigazione, quindi se proprio vuoi farlo, lo script che elabora $a e restituisce i dati lo dovresti mettere in un altro file a se stante.
Inoltre la variabile $a esiste solo per la durata dell'esecuzione dello script, quindi ogni chiamata AJAX genererà una nuova variabile $a, quindi se tra una chiamata e l'altra il valore precedente era importante (tipo un valore da incrementare), allora non funzionerà niente.

2) lasci perdere AJAX, invii il dato con un normale form e rigeneri la pagina secondo il dato inviato.

La seconda penso che sia la scelta migliore.

E' vero che l'uso di AJAX rende più piacevole la navigazione, ma dipende anche da cosa devi fare.