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Quello che volevo realizzare è un client e un server in cui il server resta in ascolto di un semplice messaggio. Quando il client invia il messaggio finisce la comunicazione.
Questo certo che è fattibile (chiaramente dovresti scendere e approfondire un po' più in dettaglio).

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In particolare vorrei provare ad inviare il messaggio specificando un id pubblico diverso da quello reale... È possibile?
Che intendi con "diverso da quello reale"? Se il server deve essere raggiungibile solo sulla tua rete locale, l'indirizzo IP da usare sarà chiaramente entro la tua rete locale, che tipicamente usa i range di IP "privati". L'unica cosa da controllare è un eventuale firewall sw sulla macchina dove gira il server.

Se il server deve essere raggiungibile da internet, devi conoscere l'IP "pubblico" assegnato dal provider alla connessione usata dal server per affacciarsi su internet. E chiaramente devi controllare tutti gli eventuali router, firewall hw/sw in modo che la porta del server sia accessibile fin da internet.