Ottimo... ( si fa per dire)
A me con Chrome normale funziona, con Chrome in incognito no.
Se l'accesso è andato a buon fine, dovrebbe dare nella tabella che dici tu delle informazioni dell'utente...
Per caso non mi sapresti dire cosa potrebbe essere?
Il mio è un hosting gratuito, dunque non so se ciò possa comportare mancanza di tali risorse... Vedo che facendo un print della $_SESSION con il nome dell'utente dopo aver fatto l'accesso, lo dà vuoto, questo vuol dire che non registra per niente la sessione.
In cima alla pagina ovviamente c'è il session_start, quindi l'errore mi sembra quasi folle