Scusa, rileggendo ho visto un errore di copia/incolla:

$like_nome = '%' . substr($nome, 0, 1) . '%' . substr($nome, 1, 1) . '%' .substr($nome, 2, 1) . '%';
$sql = "SELECT colonne FROM tabella WHERE nome LIKE ''' . $like_nome . '";

Il secondo parametro di substr() è il carattere che vuoi estrarre. 0 è il primo, etc. Quindi per estrarre il cognome i caratteri sono 3, 4, 5. Il terzo parametro è 1 perché vuoi estrarre un carattere solo.