Di solito l'opzione per nascondere i dati di whois esiste (non ricordo se è possibile per tutte le estensioni), qualche volta è gratuita e qualche volta a pagamento... insisti nel richiedere l'offuscamento di quei dati e nel caso in cui non ti dessero una risposta soddisfacente chiedi l'auth code per migrare verso un provider più disponibile
Infatti è quello che pensavo di fare, solo che per il momento ho inviato una mail anche a REGISTER.IT, sia perchè il Whois Server a cui faccio riferimento è whois.register.it sia perchè di fatto TOPHOST, da cui ho comprato il nome a dominio, utilizza la loro infrastruttura per registrare i domini .net .
Non so se ho fatto una cosa giusta, ma per il momento sembra l'unica cosa possibile.

Eventualmente avreste qualche provider da suggerirmi (purtroppo è la prima volta che provo ad aprire un sito web e sinceramente non credevo di dover rendere pubblici tutti i miei dati )?

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mi pare sia possibile farlo solo in fase di registrazione o rinnovo
Se non ricordo male in fase di registrazione non erano presenti voci che mi permettessero di offuscare i miei dati (purtroppo).

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Comunque grazie mille per le risposte.