Indicativamente così:

FILE CHE RICEVE I DATI
Codice PHP:
session_start(); //perché serve la sessione

//altro eventuale codice

if ($_POST['name'] == '' or $_POST['email'] == '') {
        
$_SESSION['log_error'] = "Ogni autore deve avere almeno un nome ed un'e-mail.";
        
header('Location:' $_SERVER['DOCUMENT_ROOT'] . '/filestorecms_admin/authors/form.html.php');
        exit();
}

//altro eventuale codice 
PAGINA COL FORM
Codice PHP:
session_start();

//altro codice

<form name='login' ...>
//qui i campi
</form>
<?php isset($_SESSION['log_error']) ? echo $_SESSION['log_error'] : '' ?>
Per evidenziare i campi giusti dovrai usare altre variabili di sessione che indichino quale campo va evidenziato.