Query non valida: ...Cannot add or update a child row.

[Alhazred]

Prova a scriverla così

SELECT COUNT(*) AS num_artisti FROM Artista WHERE Username='$u'

e quindi

SELECT COUNT(*) AS num_gruppi FROM Gruppo WHERE Nome='$gr'

Comunque nel codice postato poi questi 2 totali non li usi da nessuna parte, non penserai che quegli if ($query!=0) e if ($gruppo==0) vogliano dire "se count ha restituito un numero diverso da 0..." e "se count ha restituito 0...", vero?
Perché allo stato attuale vogliono dire "se la query è andata a buon fine..." e "se la query ha fallito..."

Per leggere il valore trovato devi prima fare il fetch del risultato della query.