boolean trovato =false; for(int i=0; i<s.length();i++) {
for(int j=0;j<a.length && trovato==false;j++) {
if(s == a[j]){
count=count+1;
trovato = true;
}
}
trovato =false;


ad occhio mi sembra sbagliato il for a livello concettuale, credo che da come lo hai scritto ti restuirà sempre tutto s.

io non la farei così complicata la condizione sul for.

 int count = 0;
String s = new String("argonauta");
char[] a = {'a','b'};


// inizio a scorrere gli elementi di s
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {

// per il primo elemento di s provo a vedere se un elemento di a corrisponde
for (int j = 0; j < a.length ; j++) {
if (s.charAt(i) == a[j]) {
count = count + 1;
System.out.println(a[j]);
}
}


}
System.out.println("numero di conteggi: " + count);