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mysql_query() restituisce un result set, non una stringa, per questo ottieni "Resource id 3", devi prima passare il risultato alla funzione mysql_fetch_array(), così

Codice PHP:
$result mysql_query($ID_PERS) or die (mysql_error());

$result mysql_fetch_array($result);

echo 
'ID = ' $result['ID']; 
Comunque considera che le funzioni mysql_ sono deprecate e presto non funzioneranno più, usa le funzioni mysqli_ oppure PDO.
Ho fatto come mi suggerivi:
Codice PHP:
<?php
 
/*Config file */
include('dati.php'); 

//variabili
   
$email 'giorgio@yopmail.com';
 
//connessione database
$link=mysql_connect("$databaseHostName","$databaseUserName","$databaseUserPassword")
       or die (
"Non riesco a connettermi a $databaseHostName");
mysql_select_db ($databaseName$link)
       or die (
"Non riesco a selezionare il db $databaseName<br>");
//selezionamo ID personale per riportarlo nelle tabelle che lo richiedono
$ID_PERS "SELECT ID FROM personale WHERE cognome = '$email'";
$result mysql_query($ID_PERS) or die (mysql_error());
$result mysql_fetch_array($result);
echo 
'ID = ' $result['ID'];  

mysql_close($link);
?>

ma mi restituisce " ID= " senza il risultato della query