Ci sarebbero diverse modifiche da fare perché la situazione sia corretta.

Anche se scrivi una volta all'inizio un nickame e poi questo viene usato per tutto il resto della chat, nulla evita che 2 utenti scelgano all'inizio della loro sessione uno stesso nickname.
Devi creare un sistema di registrazione al sito, una registrazione permanente usando il database (puoi anche farlo su un file di testo se non vuoi/puoi usare un db, ma è molto più difficile da gestire). Ogni volta che un utente vuole usare la chat dovrà effettuare il login al sito, in questo modo sei sicuro (se fai bene il sistema di registrazione) che non esistono 2 utenti con lo stesso nickname.
Quando un utente effettua il login, il suo username lo metti in sessione.

Ora non so come è fatta la chat, ma suppongo sia un form con 2 campi uno per il nickname di tipo "text" ed uno per il messaggio di tipo "textarea", se così fosse, il campo del nickname lo fai compilare automaticamente a PHP prendendo il nickname dalla sessione ed imposti il relativo campo come "readonly", così compare, si vede il nickname, viene inviato dalla chat, ma non è modificabile dall'utente.